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天庭的愤怒——三体的故事一

楼主:三钱空间 时间:2020-06-16 09:27:30


本文是「三钱空间」第11篇 原创文章



导语


我又引入了第三个球体,情况发生了令我震惊的变化。前面说过,任何图形在我的意识深处都是数字化的,前面的无球、一球和二球宇宙表现为一条或寥寥几条描述它的方程,像几片晚秋的落叶。但这第三个球体是点上了“空”之睛的龙,三球宇宙一下子变得复杂起来,三个被赋予了初始运动的球体在太空中进行着复杂的、似乎永不重复的运动,描述方程如暴雨般涌现,无休无止。我就这样进入梦乡,三球在梦中一直舞蹈着,无规律的永不重复的舞蹈。但在我的意识深处,这舞蹈是有节奏的,只是重复的周期无限长而已,这让我着迷,我要描述出这个周期的一部分或全部。                                                 

 -----《三体》


作为一部获得科幻界最高荣誉的小说,《三体》受到了无数科幻爱好者的喜爱,当然这中间也包括本文小编——大白菜。在读完小说后,给小编留下印象最深刻的无疑是小说里一个又一个巨大的科学脑洞,比如:降维攻击,曲率飞船,二向箔……,听上去就逼格满满有木有!


图1  曲率飞船示意图

(Source:《人类起源于外星文明》)


作为充满超强好奇心的我怎么能忍受自己对这些学术名词一知半解,当然是要翻书啃文献把这些问题搞清楚,这样出去吹牛的时候才能摆出一副轻描淡显,举重若轻的样子:“啊呀,不就是这么回事么:)”。


所以就有了这个系列,小编打算在这个系列里面给大家讲一讲《三体》这本小说中的科学脑洞,看看这些脑洞在我们的现实生活中长什么样,一方面深入浅出地替大家把这些问题搞清楚,另一方面也是一个近距离了解大神们解决问题思路的机会。大家这么忙,小编就负责替大家查资料看文献,希望大家支持。


今天是第一期,那咱们就从题目讲起,说一说三体问题,这个至今困扰数学家和天文学家的问题。


首先我们要搞清楚什么是三体问题。顾名思义,三体问题指的是三个天体在相互之间万有引力的作用下的运动学,比如说太阳、地球、月亮相互之间的运动就构成了一个三体系统(不考虑其他星体的影响)。


大家在高中的时候一定都学过二体问题,早在18世纪就已经被数学家们轻而易举地解决了,当然主要依靠牛顿同学的万有引力定律和积分。虽然比起二体问题来,三体问题的复杂度只多1,但在过去的近200多年里,可以说无数大神为三体问题竞折腰,这个长长的名单里包括但不限于:牛顿、庞加莱、欧拉、拉格朗日……由此可见三体问题的难度。

图2  二体问题 

(Source:Wired.com)


那到底怎么样才算解决了三体问题呢?


简单来说,如果你能够预测三体人民的命运,那么你就解决了这个问题。


复杂地来说,假如给定三个天体的初始位置和初始速度(包括方向),你如果能准确知道在初始时刻以后任意时刻三个天体的精确位置,就算是解决了这个问题。而这个问题的解就叫做解析解


什么是解析解?来,举个栗子!


假设已知一辆小车以5m/s的速度匀速向前行驶,初始位置在坐标原点处,那我们就可以轻松知道之后任意时刻,小车的位置就在5•t处(t代表时间),时间刻度和位置刻度一一对应,这就是解析解。


当然三体问题的解析解如果存在的话肯定比这要复杂得多(三体问题的解析解很有可能并不存在)。


好了,准备工作全部完成,让我们来一睹三体问题的真面目:



上式中的i,j,k分别是三个天体的代号,x则代表天体的位置。


如果大家仔细看一看这个式子,很容易就能知道这其实就是牛顿第二定律(F=m·a),一个天体受到的所有力就是其他天体对它的万有引力。


这就是三体问题?是的,就是这样。这个方程解不了?是的,暂时还没人能解,要不你试试?


上面的三个二阶方程其实等价于18个一阶方程,也就是说我们有18个未知数,按照高中老师教我们的,我们需要18个方程来解18个未知数。那现在我们有多少已知的方程呢,请掏出你们的双手来数一数,额,可能不太够用,不够就脚来凑。


首先,根据系统重心的定义和三个天体的位置关系,我们可以得到一组(3个)约束方程:



其次,高中老师教过我们动量要守恒(3个方程):



这样我们就成功地把系统的未知数降低到12个了。


然后根据物理学原理,系统受到的外力和力矩要平衡(2个方程),能量要守恒(1个方程),动量矩要守恒(1个方程)。


通过这一系列的操作,整个系统已经由原来的18阶降低为8阶了。数学家们又通过一些技术手段把时间变量从系统中消除,并用推演的办法使整个系统最终降为6阶,这个方法被称为积分法


在1772年,拉格朗日就已经走到了这一步,然而在今后的整整200多年间,数学家再也无法前进一步。1941年数学家西格尔干脆证明了想用积分法解决三体问题是不可能的。


既然积分法这条路走不通了,有的人会说,我们不是有超级计算机么!解析解得不到,数值解总可以得到吧。那小编就要说你们Too Young了,人家三体星人科技这么发达,随便派一两个智子过来就能锁死地球的科技,他们怎么会想不到。


科学家们发现,数值解的问题在于时间会无限放大初始的微小误差(时间果然是杀猪刀),用专业的术语来说,这就叫混沌现象,意思就是说天体轨道的变化毫无规律。


再者,以现在地球的科技,还没有办法得到一个可用的解析解。比如对拉格朗日点的计算(知识点!如果你不知道什么是拉格朗日点,请查阅本公众号的第6篇文章《今天我想为拉格朗日点个赞》),如果需要达到一个可用的精度,至少需要10^80000项,毕竟整个宇宙的粒子数量也就是在10^80这个量级上。所以说超级计算机也无能为力


既然这两条路都走不通了,还有没有其他办法呢?有!既然难题解决不了,那我们就简化问题,凡事从小做起嘛,科学家们也不例外。在这条原则的指引下,科学家们开始了对三体问题的简化。


第一项就是要忽略第三点的质量什么意思呢?以太阳、地球、月球这个三体系统为例,因为月球的质量太小,我们就忽略月亮对太阳和地球的吸引力,这样一来对于太阳和地球运动的讨论就可以当做一个二体问题来解决,这就是科学家们常说的限制性三体问题


第二个简化就是对于运动平面的限定,我们规定三个天体必须在一个平面内运动(平面限制性三体问题)。


图3  限制性三体问题分类

 (Source:三体问题详解及其历史)


即使把三个天体的运动限制到一个平面上,数学家们也只能把整个系统降到4阶,也就是说积分法仍然不可行(你是不是已经开始默默为三体人的命运祈祷了)。这回怎么办呢?


既然问题已经简化,那只能对结果放低要求了。三体问题这么复杂,看来找通解是不可能了,那有没有可能找特殊解?什么特殊解呢?


再来举个栗子!对于方程x^2+y^2=1来说,熟悉的小伙伴知道这在坐标平面上是一个圆,但是不熟悉的小伙伴就会想,这一个方程有两个未知数怎么办咧?蒙呗!猜还不会么,分分钟我们就猜到一组可用的解(x=1,y=0),这就是特殊解。


伟大的数学家们也是遵循这个思路,希望能先从特殊的入手。


对于天体运动来说,最特殊也是最容易想到的就是周期运动。假如我们找到合适的初始位置和初始速度,使三个天体在运动一段时间以后回到初始状态,那么他们就开始周期性的运动,这不就是可以么。


但即使是这样,在三体问题被提出的数百年内,也仅仅只有三种类型的解被发现,直到1993年,两位物理学家又发现了13类新解。


废话不多说,我们先来看看这些周期解长什么样子(感受一下大自然的优美)。

图4  八字形环绕


图5  三椭圆环绕


当然也不是所有特解都是长得这么好看的,也有一些能逼死强迫症的,比如下面这个。(不要问我这些特解是怎么找到的,科学家的脑洞你无法估计!)


图6  神秘周期轨道


其实拉格朗日点本身也是5个特解(L1~L5),你想想是不是这么回事?说白了就是第三个天体待着不动么,这当然也属于一种特殊解。


但是在我们赖以生存的太阳系中,太阳的L1,L2,L3这三个拉格朗日点是不稳定的,也就是说如果处在这三个位置的天体一旦离开了这三个点,就会越跑越远。而L4和L5就相对稳定,而事实也证明如此,在木星L4和L5点上各有一群小行星,这就是著名的特洛伊群和希腊群小行星。


图7  特洛伊群和希腊群小行星 

(Source:星空天文网)


到这里一波三折的解三体问题的故事讲完了, 而科学家们也依然在孜孜不倦追求着三体问题解的道路上艰难前行。不知道各位看官有什么感觉,反正小编越写越觉得人类科技太弱了,连三个天体相互之间运动的问题都解决不了,更何况宇宙是个拥有无数天体的系统(传说中的“N体问题”),这可怎么办呢?(瞎操什么心。)


不过可能也有人会问,为什么我们要研究三体问题,有什么实际意义么?难道是为了解救三体人于水深火热之中?


小编认真思考了一下,觉得可能有以下原因。


首先,解决三体问题,尤其是找到稳定解有助于人类找到第二地球,因为本身太阳、地球、月球就是一个三体系统。假如我们能够再找到一个这样稳定的结构,就很有可能是人类在茫茫宇宙中的第二选择。


而且三体本身也不是没有原型的,有兴趣的同学可以查一下半人马座阿尔法星,中国称其为南门二,由三颗恒星组成。其中一颗有着和地球相似的重量,但是由于太靠近恒星,表面温度过高并不适合人类生存。


在茫茫宇宙中,小编相信一定存在另外一个(或一些)适合人类生存的天体系统,到时候我们的三体理论一定能派上用场。


图8  南门二三合星系统

(Source:网路天文馆)


另外抛开现实意义不说,求知欲本身就是一种意义,我们难道不是生来为了探索这些未知么?



作者

喜欢思考,却从不多想;

不爱文字,却热衷分享;

经常仰望天空,却也为脚下的路迷茫;

虽然偏居一隅,仍然挡不住想象力长出翅膀;

世界如此复杂,人心或许才更加难以度量;

科学并不唯一,真相不见得是他人口中模样;

热爱生活,积极向上。




参考文献:

[1] Cain,《三体问题详解及其历史》

[2] 科普中国,《科普:什么是三体问题,究竟有没有解》

[3] Matthew Sheen, https://github.com/ImCabbage/MAE5730_examples/tree/master/

[4] Juhan Frank, LSU, The Three-Body Problem




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