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一个人的数学长征——佩雷尔曼

楼主:数学中国 时间:2020-08-09 12:43:58

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14岁获得国际数学奥林匹克竞赛金奖,29岁在世界牢固确立数学家地位,40岁因成功破解庞加莱猜想荣膺菲尔茨数学大奖……印在俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼身份名片上的是一系列闪光的金字。虽然这位电气工程师的儿子已成为世界名人,但他一如既往地保持着谦虚和低调,有时甚至到了让人匪夷所思的地步。《纽约客》杂志近日费尽周折找到了这位“数学隐士”,将他证明百年难题的过程、真实的性情和生活介绍给读者。

只要我还不惹人注目,我就可以选择要么做丑陋的事,要么因为不做这种事而受人宠爱。现在,我变得惹人注目了,我不能再像宠物一样什么都不说了,所以我就金盆洗手了。”——佩雷尔曼

我行我素淡泊平静拒领奖

2006年6月下旬的某一天,在风景优美的涅瓦河畔的会议中心里,佩雷尔曼刚刚与约翰·鲍尔探讨完庞加莱猜想。鲍尔是国际数学界最有影响的专业机构—国际数学家联盟的主席。

5月底,由9位知名数学家组成的国际数学家联盟委员会投票决定授予佩雷尔曼菲尔茨奖,以表彰他在庞加莱猜想方面取得的杰出成就。鲍尔此行的目的就是希望能说服佩雷尔曼参加8月在西班牙马德里举行的数学家大会并领取奖项。菲尔茨奖和诺贝尔奖一样,是为超越国界、提升全球数学水平而设立的一个奖项。该奖每4年颁发一次,每次只颁发给2至4名40岁以下的数学家。在近70年的时间里,只有45人获奖,迄今为止还没有哪一位数学家拒绝领奖。然而,佩雷尔曼告诉鲍尔他无意领奖。“我拒绝接受”,他简单地说。

6月13日是他40岁生日,这意味着,如果不接受这一荣誉,他将再没有机会获得菲尔茨奖了。按照鲍尔的设想,2006年国际数学家大会将会因为庞加莱猜想被破解而铭记史册。为此,他必须设法说服佩雷尔曼亲自与会领奖。由于担心提前泄露菲尔茨奖获得者身份,鲍尔秘密飞往俄罗斯拜访了佩雷尔曼。在两天时间里,两人晤谈了10多个小时。身材瘦长、一脸络腮胡子且秃顶的佩雷尔曼很有礼貌地听完鲍尔的游说,然后坚决拒绝了邀请。两周后,他总结那次谈话说:“他(鲍尔)提出3种选择方案:接受奖项并参加大会;接受奖项但不参加会议,大会会把奖杯寄给他;不接受奖项。从一开始我就告诉他选择最后一个。”佩雷尔曼对菲尔茨奖不感兴趣,他解释说。“它和我毫不相关,如果大家都认可了我的证明结果,那还要其他的认可干什么。”

加州岁月着手百年大难题

19世纪数学家就认识到,两维空间只有3种可能的形状:像纸一样的平面、像球一样的封闭体或者像马鞍和喇叭一样反向均衡的曲面。1970年,瑟斯顿提出著名的几何化猜想,即任何一个三维流形都可以分解成几个基本的图形。几何化猜想是关于多维空间的一个基本猜想,庞加莱猜想只是它的一个特例。因此,只要证明了几何化猜想,庞加莱猜想也就迎刃而解。上世纪80年代早期,美国哥伦比亚大学的汉密尔顿提出了一种名为“瑞奇流”的新工具,称它可以帮助解决几何化猜想和庞加莱猜想。汉密尔顿是数学界的怪人,他性格急躁,喜欢骑马和帆船运动,女友足有一个排。

佩雷尔曼阅读了汉密尔顿的文章,听了他的报告,然后,怯生生地向汉密尔顿请教。佩雷尔曼回忆说:“当时,我正研究别的课题,偶尔也会思考一下‘瑞奇流’,我觉得自己所知甚少,所以就不停地提问。”1993年,佩雷尔曼在加州大学伯克利分校开始了为期两年的访问研究。他在那儿作了几次报告,其中有一次提到自己在研究庞加莱猜想。汉密尔顿的“瑞奇流”方略技术性很强,操作起来很棘手。用“瑞奇流”进行空间变换时,到后来总会出现无法控制走向的点,这些点被称为“奇点”。如何掌握它们的动向,是证明三维庞加莱猜想的关键。有一些被称为“脖子”的区域,会衰减成密度无限大的区域。佩雷尔曼意识到,一旦汉密尔顿解决了“雪茄”问题,他写的关于亚历山大罗夫空间的一篇论文或许能帮助汉密尔顿证明瑟斯顿猜想和庞加莱猜想。

在伯克利的第一年里,佩雷尔曼写出了几篇非常有原创性的文章。他应邀在1994年的世界数学家大会上作报告,还受邀向斯坦福、普林斯顿、高等学术研究所和特拉维夫大学申请职位。斯坦福招聘委员会的一名成员要佩雷尔曼在推荐信中附一份简历,遭到了拒绝。佩雷尔曼说:“如果他们了解我的工作,就不需要我的简历,如果需要简历,他们就不了解我的工作。”

谢绝留美回国单挑搞研究

佩雷尔曼最终接到了几个工作邀请,但都被他谢绝了。1995年夏天,他回到圣彼得堡的斯捷克洛夫研究所重操旧业,月薪不足800元(他告诉朋友,他在美国攒够了钱,下半辈子已经有着落了)。他父亲已经在两年前移居以色列,他妹妹也打算在大学毕业后到父亲那儿去。不过,他母亲决定留在圣彼得堡,佩雷尔曼于是搬去和母亲住。“我认识到,我在俄罗斯能更好地工作。”他对斯捷克洛夫数学研究所的同事说。

那时,29岁的佩雷尔曼已经牢固确立了自己的数学家地位,并从职业责任中解脱出来,能够随心所欲地研究自己想研究的问题。他也明白,如果公开发表他的成果,他的工作会受到人们的认真对待。

佩雷尔曼搜索汉密尔顿的论文,为自己的研究寻找线索,还开了几个研讨会。俄罗斯几何学家格罗莫夫说,佩雷尔曼喜欢自己努力。“他让我想起了牛顿—因为一个想法而着迷,自己一个人干,不在乎别人的想法。牛顿更讨人厌,佩雷尔曼好一点,但也很固执。”

1995年,汉密尔顿发表了一篇论文,谈了对完成庞加莱猜想证明的想法。佩雷尔曼读后发现,汉密尔顿在克服“脖子”和“雪茄”两大障碍的问题上没有取得进展。不过,佩雷尔曼觉得他在死路旁看到了一条路。1996年,他给汉密尔顿写了封长信,谈了自己的想法,希望两人能够合作。“他没有回信。”佩雷尔曼说,“所以我决定自己干。”


沉默多年论文一出惊天下

转眼到了2002年11月11日,佩雷尔曼在arXiv.org网站上发表了《“瑞奇流”的熵公式及其几何应用》一文。接着,他用电子邮件把文章摘要发给了美国的一些数学家,他们已经多年没有他的消息了,其中包括汉密尔顿。他在摘要中称,他已经得出了关于庞加莱猜想的“折衷证明的纲要”。

在此之前,佩雷尔曼没有向人提起和展示过他的证明。他在接受采访时说,他没有可以参与讨论这个问题的朋友,他不想和信不过的人讨论他的工作。佩雷尔曼把一个著名数学问题的证明贴上网,不但不合学术惯例,而且风险很大。如果有人发现证明有错,他会很丢脸,而且别人还可以修补他的漏洞,成为最后的赢家。

不过,佩雷尔曼最近接受采访时说,他对此并不是特别担心。“我的想法是:如果我出了错,别人在我工作成果的基础上得出了正确的证明,我会很高兴。我从没打算做庞加莱猜想的惟一攻克者。”

中国数学家田刚在麻省理工学院收到佩雷尔曼的电邮。1992年,他俩在纽约大学共处过一段时间,还一起去参加过普林斯顿的每周研讨班。同年11月19日,几何学家卡泼维奇给佩雷尔曼发了电子邮件:“很抱歉打搅你,但有很多人在问我关于你的预印本《“瑞奇流”的熵公式及几何应用》的问题。我的理解是,尽管你还没有完成汉密尔顿方案的所有步骤,但已经做了足够的工作,从而得以应用塌陷理论的结果来证明几何化猜想,对吗?”佩雷尔曼次日回信说:“对。”

实际上,佩雷尔曼放到网上的只是证明的第一部分,但数学家们已能看出,他想出了证明庞加莱猜想的方法。如果把“瑞奇流”应用到三维空间,它实际上会变得光滑。佩雷尔曼证明,“雪茄”其实并不会产生,“脖子”的问题可以靠一系列数学上的复杂外科手术解决:切掉“奇点”,将边缘拼接起来。

田刚写信邀佩雷尔曼到麻省理工学院就此论文作报告,普林斯顿和石溪大学也向他发出了邀请。佩雷尔曼接受了所有邀请。

佩雷尔曼的成果让汉密尔顿大吃一惊。华裔数学家丘成桐最近接受采访时说:“我们曾觉得别人找不到解决方法。但在2002年,佩雷尔曼说他发表了一点东西。简而言之,他走了捷径,没有像我们那样进行详细的评估。”

完整证明三言两语就搞点

令听众惊讶的是,佩雷尔曼的赴美演讲根本没谈到庞加莱猜想。汉密尔顿没有去听报告,这让佩雷尔曼大失所望。“我是汉密尔顿的学生,虽然没有得到他的认可。”佩雷尔曼说。哥伦比亚大学的约翰·摩根参加了石溪大学的报告会,佩雷尔曼会后受邀去哥伦比亚大学演讲,汉密尔顿在那里执教。汉密尔顿迟到了,在讨论环节和随后的午餐时间,他没有提问。“我的印象是,他只读了我论文的第一部分。”佩雷尔曼说。

到了2003年7月中旬,佩雷尔曼已把他证明的另两个部分贴到了网上,数学家们开始进行正式的分析,努力回溯他的步骤。在美国,至少有两组专家开展了这项工作:一组是田刚和摩根,另一组是密歇根大学的两位学者。这两个项目都受到克莱数学研究所的支持,该所准备把田刚和摩根的研究成果出书,该本书将指导其他科学家解读佩雷尔曼的证明。

2004年9月10日,佩雷尔曼收到了田刚的一封电邮,田刚说,他刚参加了普林斯顿大学的一个为期两周的关于佩雷尔曼证明的研讨会。“我想我们已经理解了整篇论文。它是对的。”

佩雷尔曼没有回信。他最近接受采访时解释说:“我不太为自己担心。这是个著名的问题。它已不再是个猜想,对于这一事实,有人需要时间去接受。我个人决定,应该远离确证的工作,不参加那些会议。我不能影响这一过程,这是很重要的。”

与佩雷尔曼不同,本届另3位菲尔茨奖得主(由上至下依次为澳大利亚华裔数学家陶哲轩、俄罗斯数学家奥昆科夫和法国数学家维尔纳)都愉快地接受了这一殊荣。

因佩雷尔曼拒绝领奖,2006年国际数学家年会颁奖现场只得在大屏幕上放映他的照片。

释义

庞加莱猜想

庞加莱猜想是国际数学界最为重要的猜想之一,它的内容是:任何一个封闭的三维空间,只要它里面所有封闭曲线都可以收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球。自从法国数学家亨利·庞加莱1904年提出这个猜想后,几乎每年都有人声称证明了它。庞加莱是一战期间的法国总统雷蒙·庞加莱的堂兄,也是19世纪最具开创性的数学家之一。

庞加莱猜想和黎曼假设、霍奇猜想、杨-米尔理论等并列为7大数学世纪难题之一。2000年5月,美国的克莱数学研究所为每道题悬赏百万美元求解。这一猜想的高维(即N大于等于4时)推论已于上个世纪60年代和80年代分别得到证明,而对于三维的论证一直没有突破。

影响

佩氏事业成功大把同行失业

今年夏天,美国国家科学基金拨款近100万美元给华裔数学家丘成桐、汉密尔顿和丘成桐的几名学生,用于研究和应用佩雷尔曼取得的突破。围绕庞加莱猜想,已形成了一个完整的数学分支,现在这个分支面临被废弃的危险。

曾因证明庞加莱四维猜想而获菲尔兹奖的迈克尔·弗里德曼对《泰晤士报》说,佩雷尔曼的证明“对拓扑学的这个分支来说是件有点悲痛的事情”。斯捷克洛夫数学研究所的数学家、佩雷尔曼的博士生导师布拉戈说,佩雷尔曼的证明毁掉了这个领域,这个问题解决后,很多数学家将不得不转行到其他数学领域。


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